نظریه ی T را نسبت به نظریه ی 'T نسبی ـ سازگار (relatively - consistent) می نامیم اگر بتوانیم مفاهیم اصلی T را در زبان 'T چنان تعریف کنیم که اکسیوم های T متناظر با گزاره های معینی در 'T باشند، در این صورت نظریه ی T را تعبیر شده (interpreted) در نظریه ی 'T می گوییم.

تعاریف هم اکنون داده شده از ماهیتی فرانظری (metatheoretical nature) برخوردارند. اغلب اثبات تعبیر پذیری مزبور را می توان به طور کامل در زبان 'T اجرا کرد، گرچه استدلال های مدل ـ نظری درباره ی T و 'T سریعتر به موفقیت می انجامد.

در این مورد، این حالت خاص که 'T توسیعی از T در همان زبان L است، از اهمیت مخصوصی برخوردار است.

هنگام قضاوت در نظریه ی ریاضی، Tای که با هدف تهیه کردن مدلی برای حوزه ی معینی از اشیا، مثلاً فضای فیزیکی (physical space) یا فرآیندهای فیزیکی یا اقتصادی خاصی ایجاد شده است، تنها موضوع مهم موفقیت است. از آنجا که T تنها تحقق آگاهانه ی انتخاب شده از فرایندی حقیقی را نشان می دهد پرسش از راستی گزاره های واقع در آن در مرحله دوم اهمیت است. اما مسئله راستی (truth problem) برای کل ریاضیات، به عنوان علمی بسته، مسئله ای همچنان مطرح است.

این مطلب در مورد هر شاخه فی المثل، نظریه ی اعداد طبیعی یا نظریه مجموعه ها، که با توجه به خاستگاههای آن، نظریه ای اکسیوماتیک نیست، بلکه توصیفی از حوزه ی امکاناْ مجرد معینی از اشیاستُ نیز صادق است.

با اطمینان می توان گفت که گزاره های ریاضی بسیاری، علی رغم خصیصه ی مجردشان رابطه ای نزدیک با واقعیت دارند. به عنوان مثال قضیه ی زیر را در نظر می گیریم که درستی اش آشکار است:

اگر تقسیمی از مجموعه ی متناهی Sای به n رده ی مجزای C_n . . . C₁  موجود باشند که هر رده ی آن دقیقاْ شامل m عنصر است، آنگاه تقسیمی از S به m رده ی مجزای n عنصری نیز وجود دارد.

وضعیت، نسبت به این گزاره ی وسیعاْ پذیرفته شده ی امروزی، که «رابطه ی خوش ترتیبی بر مجموعه ی اعداد حقیقی موجود است»، و عموماْ در مورد گزاره های وجودی که در آنها چیزی درباره ی روش بنای شیء مورد بحث گفته نشده است، کاملاْ فرق دارد.

در سال 1931 ریاضیدانی آلمانی به نام کورت گودل قضیه ناتمامی پرآوازه اش را درباره سرنوش ریاضیات به اثبات رساند. قضیه ناتمامی می گوید در هر سیستم صوری اصول موضوعه مانند ریاضیات، همواره مسائلی باقی می مانند که بر پایه ی اصول موضوعه ای که سیستم را تعریف می کنند، نه می توانند ثابت و نه رد شوند. به دیگر سخن گودل نشان داد که مسائلی وجود دارند که با هیچ مجموعه ای از مقررات و رویه ها قابل حل نیستند.

قضیه ی گودل محدودیت های بنیادینی بر ریاضیات گذاشت و همچون ضربه ای بزرگ بر جامعه ی علمی وارد آمد، زیرا باور گسترده ای که ریاضیات را نظامی همساز و کامل بر پایه ی یک تک بنیاد منطقی می دانست، واژگون ساخت.

اما مهمترین بحث در این میان ارتباط این قضیه با مسئله ی دوم هیلبرت یعنی سازگاری اصول موضوعه ی حساب است. در حقیقت گودل با ارائه ی این قضیه به این سوال هیلبرت پاسخ منفی داد. فبلا گفتیم که هیلبرت کتابی در زمینه ی مبانی هندسه به چاپ رساند که خود او آن را اصول موضوعه نامید. این کتاب نشانگر شخصیت هیلبرت می شد به گونه ای که هرمان ویل از او به عنوان شخصیتی اثبات گرا و منطقی یاد می کند. این مسئله هیلبرت نیز شخصا در ارتباط با خود اوست. زیرا اولین بار او از عبارت اصول موضوعه در حساب ریاضیات بهره برد. اما روحیه جست و جوگری گودل او را به مطالعه ی این کتاب هیلبرت و آشنایی او با مکتب هیلبرت فراخواند. تا حدی که منجر به ارائه ی یکی از مهمترین قضایای خود در زمینه ی مبانی اصول موضوعه گردید.

اما ساختار قضیه ناتمامی گودل چیست؟

در حقیقت اصل ناتمامیت گودل نشان می دهد که سازگاری اصول موضوعه در هر شاخه ای از ریاضیات مانند تئوری اعداد منجر به یافتن گزاره های تصمیم ناپذیر که در اینجا همان اعداد هستند می شود که گاهاً با نام اولین قضیه ناتمامی گودل یا پاسخ دهنده به دومین مسئله هیلبرت در رابطه با آیا ریاضیات علمی کامل است؟ خوانده می شود. (در مفاد هر گفته ای در زبان تئوری اعداد، هر دو تا از گزاره های ثابت شده و ثابت نشده وجود دارد. در حقیقت این قضیه نشان می دهد که برای هر گزاره ی سازگار w دسته ی بازگشتی k ای جزو فرمول تعریف شده در سیستم وجود دارد که برابر با کلاس بازگشتی نشانه دار مانند r نظیر هیچ یک از دو گزاره ( r و v )هر دو گزاره (r و v) به Flg(k) تعلق دارند، طوری که در آن v متغیری آزاد از r است.

دومین قضیه ناتمامی گودل نشان می دهد که اگر نظریه ی اعداد سازگار باشد آنگاه دلیلی بر این واقعیت وجود ندارد که در آن استفاده از متدهای حساب گزاره ها مجاز باشد که این نشان دهنده ی ضعف اصول نظریه اعداد در رابطه با سازگاری اصول حساب است.

برای اطلاعات بیشتر به  "Penrose's Gödelian argument"  مراجعه کنید.

منابع:

وبلاگ ریاضیات زیبا