به زبان ساده تنگرام (Tangram) عبارت است از یک معمای چینی که می گوید یک مربع را می توان به ۵ مثلث، یک مربع و یک لوزی چنان کاهش داد، طوری که طرز آرایش این اشکال در کنار هم می تواند متفاوت از هم باشد، ولی در کل شکل نهایی یک مربع است. این تعریف کمی گنگ است، لذا به سراغ جستار فنی تر می رویم:

تنگرام، ترکیبی از قطعات چندضلعی صفحه مانندی است به نحوی که اضلاع این چندضلعی ها منطبق بر همدیگر هستند. در کل ۱۳ تنگرام محدب وجود دارد (یک تنگرام محدب شامل یک مجموعه از قطعات تنگرام است که در یک چند ضلعی محدب (convex polygon) مانند مربع چیده شده اند).

جالب است بدانید که شکل راست در زیر (مربوط به یک تنگرام با اجزای رنگ شده) علامت ویژه یا به اصطلاح لوگوی شرکت خدمات آب و برق ... Illinois Power در آمریکا است.

منابع:

Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 19-20, 1989.

Gardner, M. "Tangrams, Part 1" and "Tangrams, Part 2." Chs. 3-4 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 27-54, 1988.

Illinois Power. "Illinois Power Home Page." http://www.illinoispower.com

Johnston, S. The Fun with Tangrams Kit: 120 Puzzles with Two Complete Sets of Tangram Pieces. New York: Dover, 1977.

Johnston, S. Tangrams ABC Kit. New York: Dover, 1985.

Pappas, T. "Tangram Puzzle." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 212, 1989.

Read, R. C. Tangrams: 330 Puzzles. New York: Dover, 1980.

Slocum, J. The Tangram Book: The Story of the Chinese Puzzle with Over 2000 Puzzles to Solve. New York: Sterling, 2003 

بر طبق اين قرارداد نماد سيگما (علامت جمع در رياضيات) براي شاخص هاي تكراري كه تلويحاً عمل جمع زني روي آنها انجام مي شود، حذف مي شود. اين قرار داد به صورت جالب توجهي از حجم معادلات شامل تانسورها كاسته و آنها را ساده و كوتاه مي كند. براي مثال با استفاده از اين قرار داد داريم

و

اين قرارداد اولين بار توسط اينيشتين معرفي شد (1916, sec. 5). او من باب شوخي به يكي از دوستانش گفت: "من كشف بزرگي را در رياضيات انجام دادم؛ من هميشه از نوشتن نماد جمع خودداري مي كردم، چون نماد جمع  همواره بايستي دوباره براي شاخصي كه تكرار مي شد ابقا شود..."

(Kollros 1956; Pais 1982, p. 216).

منابع:

Einstein, A. ""Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie." Ann. der Physik 49, 769-822, 1916.

Kollros, L. "Albert Einstein en Suisse Souvenirs." Helv. Phys. Acta. Supp. 4, 271-281, 1956.

Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. New York: Oxford University Press, p. 216, 1982 

انتگرالگیری به روش پربندی محاسبه ی مقادیر انتگرال مسیر حول دوره ی مفروض بر صفحه ی مختلط (complex plane) است. به عنوان یک نتیجه ی شفت انگیز و جالب توابع هولومورفیک (holomorphic functions) چنین انتگرال هایی براحتی می توانند با جمع مقادیر مانده های مختلط (complex residues) داخل دوره محاسبه شوند.

فرض کنیم  و  دو چندجمله ای به ترتیب از درجه ی n و m با ضرایب ...  و ... باشند. مسیری در نیم صفحه ی بالایی همچون شکل بالا داریم. با تعویض x به z، می نویسیم . آنگاه

دوره مستقیم  را در طول محورهای حقیقی از  تا  تعریف کرده و یک نیم دایره جهت انصال دو نقطه ی مزبور درنیم صفحه ی مختلط بالایی رسم می کنیم. به کمک قضیه مانده ها (residue theorem) خواهیم داشت

که  مانده ی مختلط (complex residues) نام دارد. داریم

تعریف می کنیم

(*)                                                           

و مجموعه ی

آنگاه معادله ی (*)  خواهد شد

اینک،

برای . این بدان معناست که برای  و یا  ،  داریم

برای . با بکاربردن لم گوردن (Jordan's lemma) با معلوم بودن  می توان انتگرال فوق را حل کرد. به این منظور می بایست داشته باشیم

بنابراین به  نیاز داریم. آنگاه برای  و  برقرار است

به دلیل برقرار جمله به جمله ی قسمت های حقیقی و مختلط رابطه ی اخیر را می توان به صورت زیر ابقا نمود

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 406-409, 1985.

Krantz, S. G. "Applications to the Calculation of Definite Integrals and Sums." §4.5 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 51-63, 1999.

Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 353-356, 1953.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "The Evaluation of Certain Types of Integrals Taken Between the Limits and ," "Certain Infinite Integrals Involving Sines and Cosines," and "Jordan's Lemma." §6.22-6.222 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 113-117, 1990

اندازه ی لبگ، توسیع مفاهیم طول و مساحت به مجموعه های بسیار پیچیده است. مجموعه ی باز  شامل عناصر مجزا (یعنی اشتراک آنها تهی باشد. می توان از انها با عنوان مجموعه های مستقل نیز یاد کرد.)، معلوم است. اندازه ی لبگ به صورت زیر تعریف می شود

چنانچه مجموعه ی انتخابی بسته باشد یعنی ، آنگاه داریم

یک پاره خط به طول واحد، اندازه ی لبگ ۱ دارد، اندازه ی لبگ مجموعه ی کانتور صفر است. اندازه ی مینکوسکی یک مجموعه ی بسته کراندار ، در حقیقت همان مفهوم اندازه ی لبگ را در پی دارد.

انتگرال لبگ به وسیله ی جملات کران بالا و پایین و بکارگیری اندازه ی لبگ یک مجموعه حاصل می شود. در این تعریف، از مجموع لبگ  که در آن  مقدار تابع در ،  اندازه ی لبگ برای مجموعه ی نقاطی است که تقریباْ برابر با  هستند. این انتگرال، دسته ی عظیمی از توابع انتگرالپذیر را تحت پوشش قرار می دهد.

انتگرال لبگ تابع  در فضای اندازه ی ، به صورت زیر نوشته می شود

یا اغلب

دوباره تاکید می کنیم که  اندازه ی لبگ در این انتگرال است.          

منابع:

Kestelman, H. "Lebesgue Integral of a Non-Negative Function" and "Lebesgue Integrals of Functions Which Are Sometimes Negative." Chs. 5-6 in Modern Theories of Integration, 2nd rev. ed. New York: Dover, pp. 113-160, 1960.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 141, 1984.

فرض کنیم

که                                                                                        

بنابراین

همه ی مشتقات f نسبت به z به صورت نمونه های محاسبه شده ی زیر هستند.

بنابراین

و

در جملات  و  خواهیم داشت،

در امتداد محور xها یا اعداد حقیقی،، پس

(x)                                           

و در امتداد محور yها یا موهومی،،لذا                 

(xx)                                         

چنانچه f به ازای مقادیر مختلط مشتق پذیر باشد، آنگاه مقدار این مشتق می بایست بدون توجه به جهت محورها همان تعریف اخیر برای  باشد. بنابراین (x) و (xx) معادل یکدیگرند که این هم ارز است با

و

این ها به معادلات کوشی ـ ریمان شهرت دارند.

این روابط را می توان با مشتق گیری دوباره به شکل زیر نشان داد

معادلات کوشی ـ ریمان صریحاْ به صورت زیر بیان می شوند

که  مزدوج مختلط (complex conjugate) نام دارد.

اگر  در اینصورت معادلات کوشی ـ ریمان به شکل زیر تحویل می یابند

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 17).

چنانچه  و   در شرایط معادلات کوشی ـ ریمان صدق کنند، آنگاه در معادله ی لاپلاس Laplace's equation نیز برقرارند، زیرا

با اختیار هر  دلخواه، راه حل های حاصله به طور خودکار از معادلات کوشی ـ ریمان و معادله ی لاپلاس کسب می شوند. در حقیقت از آنها می توان در قضیه ی نگاشت های همدیس (conformal mappings) و پیدا کردن چارچوب و پاسخ های منطقی برای مسائل فیزیکی نظیر شارش شاره ها و الکترواستاتیک استفاده کرد.

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.

Arfken, G. "Cauchy-Riemann Conditions." §6.2 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 360-365, 1985.

Knopp, K. "The Cauchy-Riemann Differential Equations." §7 in Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part I. New York: Dover, pp. 28-31, 1996.

Krantz, S. G. "The Cauchy-Riemann Equations." §1.3.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 13, 1999.

Levinson, N. and Redheffer, R. M. Complex Variables. San Francisco, CA: Holden-Day, 1970.

Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 137, 1997

مختصات قطبی  (مختصات شعاعی)، و  (مختصه ی زاویه ای، که اغلب زاویه ی قطبی polar angle نامیده می شود و در شکل فوق مشخص است) به وسیله ی روابط زیر به مختصات دکارتی مربوط می شوند

که  فاصله ی شعاعی از مبداء مختصات و  زاویه ی پادساعتگرد از محور -ها است. (شکل)  و  نیز برحسب  و ، در جملات زیر خلاصه می شوند

معادله ی خم، در مختصات قطبی، به صورت یک معادله ی قطبی (polar equation) و رسم خم در همین مختصات بصورت یک رسم قطبی (polar plot) بیان می شوند.

طول یک خم در مختصات قطبی با علم بر اینکه ، به صورت زیر است

که در مختصات دکارتی به شکل زیر داده می شود (رجوع کنید به اینجا)

عنصر خط (line element) در اینجا به صورت زیر تعریف می شود

نیز عنصر مساحت به صورت زیر تعریف می شود

  (*)                

که مساحت محصور به خم   عبارت است از

شیب (slope) یک تابع قطبی  در نقطه ی  به صورت

می باشد.

زاویه ی بین مماس و شعاع در نقطه ی  نیز برابر است با

 یک خم قطبی تقریبا نسبت به محور x-ها متقارن است، تنها اگر با تعویض  به  معادله ی حاصل ناوردا باقی بماند. همچنین متقارن است نسبت به محور y-ها اگر و فقط اگر با تغییر  به  معادله ی حاصل دست نخورده باقی بماند و در نهایت متقارن است نسبت به مبدا مختصات چنانچه تنها با تغییر  به  معادله ی حاصل هم ارز معادله ی اولیه باشد.

 همان طور که می دانیم در مختصات دکارتی، بردار مکان  هست

که مشتق آن خواهد بود

بردار یکه اش (واحد) معادل است با

مشتق اش را در زیر می بینیم

در مختصات قطبی نیز بردار مکان (position vector) برابر است با

که مشتقات اول و دوم آن به ترتیب برابرند با

بردارهای یکه (unit vectors) نیز به صورت زیر است

و مشتقاتش

می باشد.

که در اینجا ،  امین عدد اول است. حاصلضرب اویلری (Euler's product)، نامی می باشد که هاویل (J.Havil) به این رابطه داده است.

این ضرب جمله ای را می توان با بسط جملات آن، به آسانی حل کرد. با نوشتن هر جمله به صورت یک سری هندسی (geometric series)، بسط دادن و سپس آرایش جملات مبسوط، روابط زیر را به دست آورد:

                      (*)      

در اینجا، تساوی (*) از قضیه ی اساسی حساب (fundamental theorem of arithmetic) پیروی می کند.

 برای اینکه هر حاصلضرب توانی اول (Prime Power) در مخرج یک درست (exactly one)، (توضیح اینکه هر عدد درست به این معنی است که آن عدد و تنها آن عدد. در اینجا یک درست یعنی یک و تنها یک. کانوی (Conway) برای یک درست می نویسد: "onee") ظاهر می شود و هر عدد صحیح و مثبت با یک درست حاصلضرب توانی اول برابر است.

 حاصلضرب اویلری را می توان به تابع موبیوس (Möbius function)، ، مربوط ساخت:

که تابع موبیوس به صورت زیر ارائه می گردد

همچنین می توان در بسط حاصلضرب مذکور، توسیع زیر را بکار برد

، اما حاصلضرب متناهی وجود دارد به طوریکه

برای حدود بالاتر ...,n=0,1,2 ضرب ها به ترتیب جواب های 1, 2, 3, 15/4, 35/8, 77/16, 1001/192, 17017/3072, ... را اختیار می کنند. با استفاده از این حاصلضرب می توان نتیجه ی جالبی را به دست آورد که به تئوری مرتنز (Mertens theorem) معروف است.

ضرب های اویلری به طور خلاصه بر روی تخته سیاه جان نش (John Nash)، ریاضیدان آمریکایی که در سال ۱۹۹۴ هم موفق به اخذ جایزه نوبل شده بود، با خطی ناخوانا در فیلمی با عنوان ذهن زیبا که مضمون آن به سرگذشت همین ریاضیدان با بازی Russell Crowe می پردازدُ، به نمایش درآمده بود. لازم به ذکر است این فیلم حدود یک سال پیش از تلوزیون ایران و از شبکه ۱ نیز پخش شده بود.

منابع:

Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004.

Edwards, H. M. "The Euler Product Formula." §1.2 in Riemann's Zeta Function. New York: Dover, pp. 6-7, 2001.

Euler, L. "Variae observationes cira series infinitas." St. Petersburg Acad., 1737.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Zeta Function." §17.2 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 245-247, 1979.

Havil, J. "The All-Important Formula." §7.1 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 61-62, 2003.

Ribenboim, P. The New Book of Prime Number Records, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, p. 216, 1996.

Shimura, G. Euler Products and Eisenstein Series. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.  

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Euler's Product for ." §13.3 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 271-272, 1990.

وردش  را به صورت جملاتی از پارامتر  به شکل زیر بسط می دهیم:

که در آن

و جملات را به همین صورت ادامه می دهیم.

وردش ها عبارت اند از:

دومین تغییر (وردش)، می تواند به صورت زیر تحویل گردد:

بنابراین

اما چون

اکنون با انتخاب  نظیر

و همچنین با انتخاب  مانند

بنابراین از دو معادله ی اخیر،  به صورت زیر ابقاء می شود:

که این معادله از

پیروی می کند.

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Forsyth, A. R. Calculus of Variations. New York: Dover, pp. 17-20 and 29, 1960.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 44, 1980.

Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York: Dover, pp. 53 and 61, 1986.

Morse, P. M. and Feshbach, H. "The Variational Integral and the Euler Equations." §3.1 in Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 276-280, 1953.

یکی از شاخه های وسیع ریاضیات، نوع خاصی از تعمیم حساب در آن است. حساب تغییرات (وردشها) در جستجوی یافتن مجموعه ای از مسیرها، خم ها، خمینه ها و ... است که به عنوان توابعی پیوسته و مشتق پذیر دارای اکسترم طولی هستند (که اغلب در مسائل فیزیکی از آن به عنوان کمینه یا بیشینه نیز یاد می شود). در ریاضیات، مقدار این اکسترمم بوسیله ی انتگرال معین زیر نمایش داده می شود:

که در آن

در مسئله ی کوتاه ترین خم زمانی (brachystochrone problem) که توسط یوهان برنولی (Johann BERNOULLI) به سال ۱۶۹۶ علناْ مطرح شد یافتن y ای در انتگرال فوق مطرح است که در آن بتوانیم تعریف ذیل را نمایان سازیم:

اگر دو نقطه ی p1 و p2 در ارتفاعات متفاوت اما نه واقع بر بالای یکدیگر، مفروض باشند، می خواهیم از جمیع خم های ممکن واصل آنها، خمی را بیابیم که یک نقطه ی مادی (material point) از p1 به p2 در امتداد آن و تحت تاثیر گرانی یا ثقل (صرفنظر از اصطکاک) در کوتاهترین زمان ممکن بلغزد.

مسئله ی فوق در آن زمان، ذهن ریاضیدانان پیشرو تمام اروپا، از قبیل: نیوتون، لایب نیتز، یاکوب برنولی، هوپیتال، هود (HUDDE)، فاتیو (FATIO) و ... را به خود مشغول کرد. از این زمان به بعد حساب تغییرات به عنوان عنوان دستگاه ریاضی خاصی توسعه یافته است.

مسئله ی فوق منجر به پیدایش تابع (y(x ای شد که بازای آن مقدار اکسترمم را برای تابع f مطرح کردیم. اما تابع لازم در این مسئله نوع خاصی از جوابی بود که باید در یک معادله ی دیفرانسیل کلی ترصادق باشد. اویلر به همراه لاگرانژ در تحویل مسئله ی تغییرات به معادلات دیفرانسیل توفیق یافت.  معادله ی اویلر ـ لاگرانژ (Euler-Lagrange differential equation) یکی از فرمول های بنیادی حساب تغییرات یا وردش هاست.

مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

این تابع به صورت

معرفی میشود. در آنالیز مختلط هر جایی که در آن , ...,2-, 1-  و قسمت حقیقی   (تابع گاما) به شکل  معرفی می شود. تابع گامای اویلر از انتگرالگیری ناسره برای  به صورت

یا

ناشی می شود.

تابع کامل گامای اویلر  از تابع ناکامل (incomplete gamma function)  و تابع ناکامل کوچکتر بدست می آید. این از دیدگاه تفکیک قسمت های مختلط و حقیقی در آنالیز مختلط ما را به تابع گاما که تابعی مستقل است می رساند. به عبارت دیگر تابع گامای اویلر حاصل آنالیز قسمت های مختلط مقدار و حقیقی تابع معرفی شده در بالاست. در توجیه این امر شکل زیر گویای این امر است:

که نمودارهای حقیقی و موهومی از به خوبی گویای امر هستند. معادله ی انتگرالی از قسمت حقیقی به خوبی نشان می دهد

که در آن x عدد طبیعی دلخواه است. بنابراین تابع فاکتوریل تابعی از آرگومان های صحیح مثبت است. یک رابطه ی بسیار زیبا و جالب مابین و  (تابع زتای ریمان) به شکل

برای هر . همچنین این تابع از حاصلضرب نامتناهی (infinite product) جملات به صورت

معرفی می شود. جایی که در آن  ثابت اویلر - ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است. این رابطه را می توان نوشت:

که  =  و  =.

منابع:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Gamma (Factorial) Function" and "Incomplete Gamma Function." §6.1 and 6.5 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 255-258 and 260-263, 1972.

Arfken, G. "The Gamma Function (Factorial Function)." Ch. 10 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 339-341 and 539-572, 1985.

Artin, E. The Gamma Function. New York: Holt, Rinehart, and Winston, 1964.

Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 334-342, 1994.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.

Borwein, J. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, p. 6, 1987.

Borwein, J. M. and Zucker, I. J. "Fast Evaluation of the Gamma Function for Small Rational Fractions Using Complete Elliptic Integrals of the First Kind." IMA J. Numerical Analysis 12, 519-526, 1992.

Bourguet, L. "Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes." Acta Math. 2, 261-295, 1883.

Campbell, R. Les intégrales eulériennes et leurs applications. Paris: Dunod, 1966.

Davis, H. T. Tables of the Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press, 1933.

Davis, P. J. "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function." Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "The Gamma Function." Ch. 1 in Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 1-55, 1981.

Finch, S. R. "Euler-Mascheroni Constant." §1.5 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 28-40, 2003.

Gauss, C. F. "Disquisitiones Generales Circa Seriem Infinitam etc. Pars Prior." Commentationes Societiones Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, Vol. II. 1812. Reprinted in Gesammelte Werke, Bd. 3, pp. 123-163 and 207-229, 1866.

Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. Answer to Problem 9.60 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Hardy, G. H. "A Chapter from Ramanujan's Note-Book." Proc. Cambridge Philos. Soc. 21, 492-503, 1923.

Hardy, G. H. "Some Formulae of Ramanujan." Proc. London Math. Soc. (Records of Proceedings at Meetings) 22, xii-xiii, 1924.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Havil, J. "The Gamma Function." Ch. 6 in Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 53-60, 2003.

Isaacson, E. and Salzer, H. E. "Mathematical Tables--Errata: 19. J. P. L. Bourget, 'Sur les intégrales Eulériennes et quelques autres fonctions uniformes,' Acta Mathematica, v. 2, 1883, pp. 261-295.' " Math. Tab. Aids Comput. 1, 124, 1943.

Koepf, W. "The Gamma Function." Ch. 1 in Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-10, 1998.

Krantz, S. G. "The Gamma and Beta Functions." §13.1 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 155-158, 1999.

Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, p. 46, 1983.

Magnus, W. and Oberhettinger, F. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics. New York: Chelsea, 1949.

Nielsen, N. "Handbuch der Theorie der Gammafunktion." Part I in Die Gammafunktion. New York: Chelsea, 1965.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Gamma Function, Beta Function, Factorials, Binomial Coefficients" and "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.1 and 6.2 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 206-209 and 209-214, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A000142/M1675, A001147/M3002, A030169, A030170, A030171, A030172, and A068466 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Gamma Function " and "The Incomplete Gamma and Related Functions." Chs. 43 and 45 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 411-421 and 435-443, 1987.

Watson, G. N. "Theorems Stated by Ramanujan (XI)." J. London Math. Soc. 6, 59-65, 1931.

Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.

Whipple, F. J. W. "A Fundamental Relation between Generalised Hypergeometric Series." J. London Math. Soc. 1, 138-145, 1926.

Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Wrench, J. W. Jr. "Concerning Two Series for the Gamma Function." Math. Comput. 22, 617-626, 1968.