نقاط اویلری، نقاط میانی (midpoints)  و  و  پاره خط های متصل به رئوس  و  و  مثلث  هستند و  محل تقاطع ارتفاعات مثلث است. این نقاط سه نقطه از مجموع ۹ نقطه ی واقع بر دایره ی مفروض (nine-point circle) را تشکیل می دهند. نقاط اویلری توسط مثلث اویلری   (Euler triangle) شناخته می شوند.

با در نظر گرفتن مثلث  مثلث پادک (orthic triangle)  را رسم می کنیم. سپس خطوط اویلری (Euler lines) سه گوشه ی مثلث های  و  و  را از میان نقاط اویلری عبور می دهیم تا در نقطه ی  به همدیگر برسند. روابط زیر همواره میان اجزای شکل یافته برقرار است:

(Thébault 1947, 1949; Thébault et al. 1951).

ادامه دارد...

منابع:

onsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 6, 1995.

Thébault, V. "Concerning the Euler Line of a Triangle." Amer. Math. Monthly 54, 447-453, 1947.

Thébault, V. "Problem 4328." Amer. Math. Monthly 56, 39-40, 1949.

Thébault, V.; Ramler, O. J.; and Goormaghtigh, R. "Solution to Problem 4328: Euler Lines." Amer. Math. Monthly 58, 45, 1951.  

چهار پارامتر ، ، و  شرح هنده ی یک دوران متناهی پیرامون هر محور دلخواه هستند. پارامترهای اویلری به صورت زیر مشخص می شوند

و در نمایش اسکالر ـ بردار یک چهارگان (quaternion) هستند

برای اینکه قضیه ی دوران اویلر بیان می کند که یک دوران دلخواه تنها با ۳ پارامتر توصیف می شود. رابطه ای که مابین این چهار پارامتر موجود است (Goldstein 1980, p. 153).

ارتباط زاویه ی دوران با پارامترهای اویلر توسط رابطه ی زیر داده می شود

پارامترهای اویلر را می توان به وسیله ی جملات زوایای اویلری (Euler angles) نیز نمایش داد

 (Goldstein 1980, p. 155).

با استفاده از پارامترهای اویلری فرمول دوران (rotation formula) به دست می آید

و ماتریس دوران (rotation matrix) به شکل زیر حاصل می شود

که عناصر ماتریسی عبارت اند از

در اینجا از قاعده ی جمع اینیشتین (خذف نماد سیگما) استفاده شده است،  تابع دلتای کرونکر (i=j آنگاه ۱= و در غیر این صورت ۰= ) است و  تانسور لوی ـ سیویتا (Levi - Civita) یا نماد جایگشت (permutation symbol) است.

عناصر ماتریسی هم به شکل زیر رائه می شوند

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 198-200, 1985.

Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.

Landau, L. D. and Lifschitz, E. M. Mechanics, 3rd ed. Oxford, England: Pergamon Press, 1976.

آجر اویلر مکعبی است که اضلاع آن اعداد صحیحی بوده  و قطرهای آن عبارت اند از

اگر قطر فضایی (space diagonal) هم صحیح باشد، آنگاه آجر اویلر مکعب کامل (Perfect Cuboid) نامیده می شود. اگر چه نمونه های مکعب کامل متداول و شناخته شده نیستند.

کوچکترین آجر اویلر  و قطر های غیر همجوار آن (polyhedron diagonals) به صورت  و  و  است که توسط هالک (P. Halcke) ،(1719; Dickson 2005, pp. 497-500) کشف شده است. کرایچیک (Kraitchik) به تعداد ۲۵۷ مکعب با اضلاع فرد کوچکتر از ۱ میلیون را بدست آورده است (Guy 1994, p. 174). هلنیوس (F. Helenius) لیست کاملی از ۵۰۰۳ آجر اویلر (با بزرگترین اضلاع ) را تهیه کرده است که نخستین آنها به اضلاع (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160), ... هستند.

این مسئله در سده ی ۱۸ ام میلادی ذهن بسیاری را به خود مشغول کرد تا اینکه ساندرسون (1740) به راه حل پارامتری توفیق یافت که  آجرهای اویلر را به دست می داد (البته تمامی آجرهای ممکن را پاسخ گو نبود) در حالیکه اویلر (1770, 1772) تنها به دو راه حل پارامتری دست یافته بود. راه حل ساندرسون این بود که او فرض کرد  یک گروه سه تایی فیثاغورثی (Pythagorean triple) باشند، آنگاه

آجر اویلر است قطرهای آن به شکل زیر تعریف شوند

(Saunderson 1740; Dickson 2005, p. 497).   

منابع:

Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.

Guy, R. K. "Is There a Perfect Cuboid? Four Squares Whose Sums in Pairs Are Square. Four Squares Whose Differences are Square." §D18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 173-181, 1994.

Halcke, P. Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 265, 1719.

Leech, J. "The Rational Cuboid Revisited." Amer. Math. Monthly 84, 518-533, 1977. Erratum in Amer. Math. Monthly 85, 472, 1978.

Peterson, I. "MathTrek: Euler Bricks and Perfect Polyhedra." Oct. 23, 1999.

Rathbun, R. L. "Integer Cuboid Search Update." NMBRTHRY@listserv.nodak.edu posting. 8 Jan 2001.

Saunderson, N. The Elements of Algebra in 10 Books, Vol. 2. Cambridge, England: University Press, pp. 429-431, 1740.

Spohn, W. G. "On the Integral Cuboid." Amer. Math. Monthly 79, 57-59, 1972.

Spohn, W. G. "On the Derived Cuboid." Canad. Math. Bull. 17, 575-577, 1974.

Wells, D. G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin, p. 127, 1986.  

نظریه ی چند جمله ای های شگفت انگیز

مربوط به مکاتبه ی اویلر در یک نامه در ۱۵ آوریل سال ۱۷۵۰، برای گلدباخ است. ( البته به صورت صحیح تر قبل از تولد اویلر در ۱۵ آوریل ۱۷۰۵ این روابط به صورتی دیگر مطرح شده بودند ـ رجوع کنید به Conway and Guy 1996, p. 232)). این نظریه همچنین از یک قانون کلی تبعیت می کند که آن این است که همواره «نرم حاصلضرب دو چهارگان (quaternion) برابر با حاصلضرب نرم هاست.»

منابع:

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 232, 1996.

Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 191-192, 1951.

Petkovsek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A. K. Peters, p. 8, 1996.

چند جمله ای های اویلری، ، از دنباله ی اپل (Appell sequence) بدست می آید که شکل عمومی آن به صورت

که تابع مولد آن

است. جملات آغازین جند جمله ای اویلر به ترتیب زیر می باشد:

(¤) 

در رابطه با این چندجمله ای ها رمان (Roman, S - 1984, p. 100)، یک تعمیم کلی از  را به ازای هر  به نمایش درآورد. چندجمله ای های اویلر همچنین به اعداد برنولی (Bernoulli numbers) توسط روابط

به هم وابسته اند که در آن

ترکیب n و k می باشد. با جایگذاری ، در رابطه ی بالا و هنجارسازی آن توسط ، اعداد اویلری به صورت

به دست می آیند. نامگذاری معادله ی فوق به شکل  است که جملات آغازین آن عبارتند از ، 0 ، 1/4، 0 ، 17/8 ، 0 ، 31/2 ،0 و ... جملات همان جملات قبلی (¤) هستند، با این تفاوت که اگر  را در آنها جایگذاری کنیم، تنها علامت آنها برعکس می شود. برای مثال با جایگذاری  در  ، 1/2 به دست می آید حال آنکه  برای n=1 داریم . این عبارت ها می توانند از تنجش سری ها و ترکیب n و k نیز به دست آیند:

اعداد برنولی را می توان در جملات  به این صورت بیان نمود:

بسط نیوتونی (Newton expansion) چند جمله ای های اویلری به شکل

است که در آن

ترکیب n و k،  یک فاکتوریل فالینگ (falling factorial) و  یک عدد استرلینگ نوع دوم Stirling number of the second است (Roman 1984, p. 101). 

 چند جمله ای های اویلر به ازای هر n صحیح و نامنفی، دارای خواص زیر است:

و

منابع:

 Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula." §23.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 804-806, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function , Bernoulli Polynomials , Euler Polynomials , and Polylogarithms ." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.

Roman, S. "The Euler Polynomials." §4.2.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 100-106, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Euler Polynomials ." Ch. 20 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 175-181, 1987.