رياضيات زيبا

تبدیلات فوریه (1)

تبدیلات فوریه به طور کلی، تعمیم سری های فوریه در حالتی است که حد

برقرار باشد. این کار را می توان با جداسازی ضریب

از معادله ی سری گون

و تبدیل آن به جملات پیوسته ی

است که شرط تغییر

در آن الزامی است. سپس تغییر این سری به شکل انتگرال (به دلیل پیوستگی دامنه ی تابع) خواهیم داشت

در اینجا

که تبدیل فوریه به جلو () نامیده می شود و

تبدیل فوریه وارون () یا وارون تبدیل فوریه نامیده می شود. نماد توسط ترات (M.Trott) برای نمایش این تبدیلات معرفی شده است. (2004, p. xxxiv)، و و بعضی اوقات به ترتیب تبدیل فوریه و تبدیل فوریه ی وارون نامیده می شوند که غالباْ با همین نام ها شناخته و مرسوم هستند. (Krantz 1999, p. 202)

ادامه مطلب

+ نوشته شده در ساعت 3:17 توسط علیرضا بهتاش

مختصات قطبی (polar coordinates)

مختصات قطبی (مختصات شعاعی)، و (مختصه ی زاویه ای، که اغلب زاویه ی قطبی polar angle نامیده می شود و در شکل فوق مشخص است) به وسیله ی روابط زیر به مختصات دکارتی مربوط می شوند

که فاصله ی شعاعی از مبداء مختصات و زاویه ی پادساعتگرد از محور -ها است. (شکل) و نیز برحسب و ، در جملات زیر خلاصه می شوند

معادله ی خم، در مختصات قطبی، به صورت یک معادله ی قطبی (polar equation) و رسم خم در همین مختصات بصورت یک رسم قطبی (polar plot) بیان می شوند.

طول یک خم در مختصات قطبی با علم بر اینکه ، به صورت زیر است

که در مختصات دکارتی به شکل زیر داده می شود (رجوع کنید به اینجا)

عنصر خط (line element) در اینجا به صورت زیر تعریف می شود

نیز عنصر مساحت به صورت زیر تعریف می شود

(*)

که مساحت محصور به خم عبارت است از

شیب (slope) یک تابع قطبی در نقطه ی به صورت

می باشد.

زاویه ی بین مماس و شعاع در نقطه ی نیز برابر است با

یک خم قطبی تقریبا نسبت به محور x-ها متقارن است، تنها اگر با تعویض به معادله ی حاصل ناوردا باقی بماند. همچنین متقارن است نسبت به محور y-ها اگر و فقط اگر با تغییر به معادله ی حاصل دست نخورده باقی بماند و در نهایت متقارن است نسبت به مبدا مختصات چنانچه تنها با تغییر به معادله ی حاصل هم ارز معادله ی اولیه باشد.

همان طور که می دانیم در مختصات دکارتی، بردار مکان هست

که مشتق آن خواهد بود

بردار یکه اش (واحد) معادل است با

مشتق اش را در زیر می بینیم

در مختصات قطبی نیز بردار مکان (position vector) برابر است با

که مشتقات اول و دوم آن به ترتیب برابرند با

[-rsinthetatheta^.+costhetar^.; rcosthetatheta^.+sinthetar^.]=rtheta^.theta^^+r^.r^^

بردارهای یکه (unit vectors) نیز به صورت زیر است

((dr)/(dr))/(|(dr)/(dr)|)=[costheta; sintheta]

((dr)/(dtheta))/(|(dr)/(dtheta)|)=[-sintheta; costheta],

و مشتقاتش

[-sinthetatheta^.; costhetatheta^.]=theta^.theta^^

[-costhetatheta^.; -sinthetatheta^.]=-theta^.r^^.

می باشد.

+ نوشته شده در ساعت 14:25 توسط علیرضا بهتاش

نظریه ی مربعات چهار جمله ای اویلر

نظریه ی چند جمله ای های شگفت انگیز

مربوط به مکاتبه ی اویلر در یک نامه در ۱۵ آوریل سال ۱۷۵۰، برای گلدباخ است. ( البته به صورت صحیح تر قبل از تولد اویلر در ۱۵ آوریل ۱۷۰۵ این روابط به صورتی دیگر مطرح شده بودند ـ رجوع کنید به Conway and Guy 1996, p. 232)). این نظریه همچنین از یک قانون کلی تبعیت می کند که آن این است که همواره «نرم حاصلضرب دو چهارگان (quaternion) برابر با حاصلضرب نرم هاست.»

منابع:

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 232, 1996.

Nagell, T. Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 191-192, 1951.

Petkovsek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A. K. Peters, p. 8, 1996.

+ نوشته شده در ساعت 2:45 توسط علیرضا بهتاش