چند جمله ای های اویلری، ، از دنباله ی اپل (Appell sequence) بدست می آید که شکل عمومی آن به صورت

که تابع مولد آن

است. جملات آغازین جند جمله ای اویلر به ترتیب زیر می باشد:

(¤) 

در رابطه با این چندجمله ای ها رمان (Roman, S - 1984, p. 100)، یک تعمیم کلی از  را به ازای هر  به نمایش درآورد. چندجمله ای های اویلر همچنین به اعداد برنولی (Bernoulli numbers) توسط روابط

به هم وابسته اند که در آن

ترکیب n و k می باشد. با جایگذاری ، در رابطه ی بالا و هنجارسازی آن توسط ، اعداد اویلری به صورت

به دست می آیند. نامگذاری معادله ی فوق به شکل  است که جملات آغازین آن عبارتند از ، 0 ، 1/4، 0 ، 17/8 ، 0 ، 31/2 ،0 و ... جملات همان جملات قبلی (¤) هستند، با این تفاوت که اگر  را در آنها جایگذاری کنیم، تنها علامت آنها برعکس می شود. برای مثال با جایگذاری  در  ، 1/2 به دست می آید حال آنکه  برای n=1 داریم . این عبارت ها می توانند از تنجش سری ها و ترکیب n و k نیز به دست آیند:

اعداد برنولی را می توان در جملات  به این صورت بیان نمود:

بسط نیوتونی (Newton expansion) چند جمله ای های اویلری به شکل

است که در آن

ترکیب n و k،  یک فاکتوریل فالینگ (falling factorial) و  یک عدد استرلینگ نوع دوم Stirling number of the second است (Roman 1984, p. 101). 

 چند جمله ای های اویلر به ازای هر n صحیح و نامنفی، دارای خواص زیر است:

و

منابع:

 Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula." §23.1 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 804-806, 1972.

Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000.

Prudnikov, A. P.; Marichev, O. I.; and Brychkov, Yu. A. "The Generalized Zeta Function , Bernoulli Polynomials , Euler Polynomials , and Polylogarithms ." §1.2 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions. Newark, NJ: Gordon and Breach, pp. 23-24, 1990.

Roman, S. "The Euler Polynomials." §4.2.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 100-106, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Euler Polynomials ." Ch. 20 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 175-181, 1987.